Das DSL ist von der Leitungslänge und mit den Latenzzeiten nicht optimal, sollte aber funktionieren. Was man bei den Messung sieht ist das der Rückkanal (Upload) bis auf 1 Mbit/s zurückfällt, das könnte ein Hinweis sein, dass etwas nicht stimmt und es bei Übertragungen zu Störungen kommt. Hier würde ich dir raten, mit den Messungen den Provider zu kontaktieren und mal klären lassen warum das abfällt.
Wenn die Störungen Nachmittags und Abends sind und am Morgen und Tagsüber ohne Fehler funktioniert, dann kann es sein, dass die Leitungen zu den Abendstunden hin Überlastet wird, weil viele User darauf unterwegs sind. Das wäre auch ein Fall für den Provider.
In der Stunde wo es lief, war das PowerLAN gezogen? Frage, da, dass PowerLAN beim DSL Störungen verursachen kann. Die Fritz!Box Protokolliert das unter System: Internetverbindung. Sind da Fehler oder Hinweise zum PowerLAN zu sehen? WErden die PowerLAN Geräte unter dem Heinnetz geführ, schau mal darein wie die Verbindung ist. Lass mal das PowerLAN ausgesteckt und Probiere mal, ob die Fehler auftreten.
Wenn andere Live Stream Apps ohne Probleme laufen, wie z.B. ZDF, dann kann es auch an deinen fc2live App/Anbieter liegen, evtl. verträgt sich die APP nicht ganz mit dem Fire-TV oder ist sehr empfindlich, z.B. wenn der Rückkanal (Upload) nicht funktioniert bzw. wenig Bandbreite hat. Kannst du den Live Stream auch über dein Laptop anschauen? Quasi als Gegentest zum Fire-TV Stick.
Was auch öfters berichtet wird und bei mir und einigen Kollegen vorgekommen ist, dass es Probleme mit den Live Stream gab, wenn sich der Fire-TV Stick mit dem 2,4 GHz verbunden hatte. Stellt man das auf 5 GHz um, dann lief alles gut. Probiere mal mit dem 5 GHz WLAN ob das Problem auch vorkommt. In der Fritz!Box das 2,4 GHz WLAN ausschalten und den Stick dann mit 5GHz verbinden.